CPS Lecture 18 Digital Modulation in AWGN Channel
数字通信系统 Digital Communication System
基本组成
- 信源 Source: 产生源信号数据流
- 线路编码 Line Codes：将信息编码为电信号波形
- 复用器 Multiplexer
- 再生中继器 Regenerative Repeater：用于在线路中对信号去噪和保持信号完整性
信源
- 来自计算机的数据集（Data sets from a computer）
- 数字化语音信号，例如 - PCM（Pulse Code Modulation，脉冲编码调制） - DM（Delta Modulation，增量调制）
- HDTV（高清电视）与遥测数据（Telemetry data）
线路编码
- 将数字数据转换为脉冲（waveforms）
- 以适合在物理信道中传输
常见线路编码类型（Line Code Examples）
RZ（Return-to-Zero，归零码）
on-off RZ - 1：正脉冲 - 0：无信号
polar RZ（极性归零码） - 1：正脉冲 - 0：负脉冲
bipolar RZ（双极性归零码） - “1” 在正负之间交替 - “0”为零电平
NRZ（Non-Return-to-Zero，不归零码）
- on-off NRZ
- polar NRZ
其实RZ和NRZ的区别就是正向的脉冲会不会和下一个正向脉冲连起来。 
复用器
复用的目的
- 合并多个数据源
- 提高信道利用率
常见复用方式
- FDM（Frequency Division Multiplexing，频分复用）
- TDM（Time Division Multiplexing，时分复用）
- CDM（Code Division Multiplexing，码分复用）
再生中继器
再生中继器的功能
- 沿传输路径按间隔放置
- 功能包括：
1. 检测接收信号 2. 消除噪声与失真 3. 重新生成脉冲并继续传输
符号间干扰 Intersymbol Interference, ISI
符号间干扰 vs 信道噪声
Inter-Symbol Interference（ISI）
- 由信道频率响应不理想引起
- 脉冲在时间上扩展并与相邻脉冲重叠
- 导致判决错误
Channel Noise
- 由随机、不可预测的物理现象产生
- 表现为信道输出端的非期望电信号
Nyquist 第一准则（零 ISI）
基本思想
通过脉冲成形，使得在采样时刻：
- 当前符号脉冲幅度非零
- 其他符号贡献为零
设比特周期为：
脉冲
理想 Nyquist 脉冲
物理/几何意义 * 频域对称性：
这意味着滤波器的幅频特性必须关于截止频率（奈奎斯特频率
- 直观理解：如果把滤波器的频谱切下来一块，必须能完美地“补”到另一边，使得整体叠加后平坦。
带滚降因子
实现方案
| 方案 | 滤波器类型 | 特点 | 优缺点 |
|---|---|---|---|
| 理想方案 | 矩形滤波器 (时域为 Sinc) | 带宽最小 ( | 物理不可实现；尾部衰减慢，对时钟抖动极敏感。 |
| 实用方案 | 升余弦滤波器 (Raised Cosine) | 带宽稍大 ( | 广泛使用；尾部衰减快，抗抖动能力强。 |
二进制调制 Binary Modulation
基本假设
- 在数字通信中，假设载波在一个符号（比特）持续时间内具有单位能量。
- 数字调制信号的频谱以载波频率
为中心。 - 与模拟调制类似，假设载波频率
远大于 作为调制信号的二进制数据流的“带宽”。
载波模型与调制信号表达式
载波幅度假设
假设载波幅度为：
其中
载波信号
调制信号
设输入二进制基带信号为
即：
每比特能量
定义
假设载波初始相位
代入
使用三角恒等式
代入得：
近似处理
假设
最终结果
📌 结论：
发送信号的每比特能量
数字调制技术
SK(Shift Keying)的意思就是0和1切换。Keying来源于早期发报员通过按键来切换0和1的状态。
- BASK
- BPSK
- BFSK
- QPSK
三种基本二进制调制方式
二进制幅移键控（BASK）
Binary Amplitude Shift Keying
调制信号
- 载波幅度
在两种取值之间切换（如 0 和 1） - 载波频率
和相位 保持不变 - 本质：幅度调制（Amplitude Modulation）
二进制相移键控（BPSK）
Binary Phase Shift Keying
- 通过切换载波相位来表示二进制信息
- 相位在
和 之间切换 - 载波幅度
与频率 保持不变 - 本质：相位调制（Phase Modulation）
二进制频移键控（BFSK）
Binary Frequency Shift Keying
其中：
通过切换载波频率表示二进制信息
载波频率
在两个不同频率之间切换 载波幅度
和相位 保持不变 本质：频率调制（Frequency Modulation）
Quadriphase-SK, QPSK
正交相移键控（QPSK）
基本思想
- 传输信息包含在正弦载波的相位（phase）中
- 载波相位取 4 个等间隔值：
$$
\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}
$$
- 每一个相位对应 2 个比特（dibit）
- QPSK ≈ 两个正交 BPSK 的叠加
QPSK 信号的数学表达
单个符号波形
其中：
：每个 QPSK 符号 的能量 ：符号持续时间
QPSK 的正交分解（I/Q 表示）
利用恒等式：
可将 QPSK 信号写为：
I/Q 两路 BPSK 的等效表示
- 同相分量（In-phase, I）
$$
a_1(t)=\sqrt{E}\cos!\left((2i-1)\dfrac{\pi}{4}\right)
$$
- 正交分量（Quadrature, Q）
$$
a_2(t)=-\sqrt{E}\sin!\left((2i-1)\dfrac{\pi}{4}\right)
$$
对应取值关系：
两路载波 相位正交（90° 相差），分别调制 I / Q 两个 BPSK 信号。
QPSK 相位与比特映射（Gray 编码示例）
| 索引 | 相位（rad） | 输入 dibit | ||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 10 | |||
| 2 | 00 | |||
| 3 | 01 | |||
| 4 | 11 |
📌 Gray 编码（Gray coding）：
相邻相位只相差 1 bit，可降低误码率（BER）。
M 进制数字调制 M-ary Digital Modulation
- M 进制数字调制在每一个符号周期
内，从 个可能信号中选择一个：
$$
s_1(t), s_2(t), \dots, s_M(t)
$$
- 符号持续时间：
$$
T = m T_b,\quad M = 2^m
$$
其中
- 主要目的：在带通信道中节省带宽（Bandwidth Conservation），适用于带宽受限的通信场景。
M-ary 调制的特点
- 带宽效率更高：相比二进制调制，M 进制调制能在相同带宽下传输更多比特。
- 功率与复杂度增加：M 越大，系统对功率和接收机复杂度的要求越高。
- 应用场景：当信道带宽受限、无法使用简单二进制调制时，优先采用 M 进制调制。
M-ary Phase Shift Keying（M-PSK）
- M-PSK 是 BPSK 的推广，通过一个符号承载多个比特来节省带宽。
- 每
的相位范围被均匀划分为 个相位。
M-PSK 信号表达式
M-PSK 的 I/Q 表示（恒包络）
- 同相分量（In-phase）与正交分量（Quadrature）相互关联，使信号包络恒定。
- 信号幅度：
- 结论：M-PSK 为恒包络调制，适合非线性信道。
M-PSK 的信号空间表示（Signal-Space Diagram）
- 采用二维正交基函数：
- 每个符号对应二维空间中的一个点：
- 同相分量：
- 所有符号点均匀分布在半径为
的圆上（如 8-PSK）。
M-ary Quadrature Amplitude Modulation（M-QAM）
- 在 M-QAM 中，同相分量和正交分量相互独立。
- 不再限制信号包络恒定。
M-QAM 信号表达式
：同相与正交分量的幅度等级 ：最小幅度信号对应的能量 - 本质：ASK 与 PSK 的组合（混合调制）
M-QAM 的特殊情况
- M-ASK：若
- M-PSK：若
则 M-QAM 退化为 M-PSK。
M-QAM 的信号空间图
- 信号点排列在矩形网格上（如 16-QAM）。
- 同相与正交分量彼此独立。
- 与 M-PSK 不同，M-QAM 的信号点能量不相等。
- 常配合 Gray 编码 以降低误码率。
M-ary Frequency Shift Keying（M-FSK）
- 每个符号使用不同的载波频率表示：
所有信号具有相同持续时间
和能量 。 频率间隔为
，保证信号正交。
正交性条件
- 优点：易于区分符号，抗非线性失真能力强。
M-FSK 与 M-QAM 对比
- M-FSK / M-PSK：恒包络，适合非线性信道
- M-QAM：包络变化，仅适用于线性信道
多载波调制（Multi-carrier Modulation）
- 单载波系统在频率选择性信道中易产生严重符号间干扰（ISI）。
- 多载波调制将数据分散到多个子载波上： - 单载波发射功率谱 - 多载波发射功率谱 - 多载波接收功率谱
正交频分复用（OFDM）
- OFDM 是典型的多载波调制技术。
- 将高速数据流拆分到多个正交子载波上传输。
- 每个子载波经历近似平坦信道。
- 功率分散在多个子载波上，降低对频率选择性衰落的敏感度。